用中文回答
(iii) Find all solutions to $\mathbf{A} \overrightarrow{\mathbf{x}}=\overrightarrow{\mathbf{0}}$ where $\mathbf{A}$ is the given matrix.
(a) $\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 4 \ 0 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 1\end{array} ight]$
(b) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 4 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & -2\end{array} ight]$
(c) $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 0 \ 0 & 1 & -7 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0\end{array} ight]$

Question

用中文回答
(iii) Find all solutions to $\mathbf{A} \overrightarrow{\mathbf{x}}=\overrightarrow{\mathbf{0}}$ where $\mathbf{A}$ is the given matrix.
(a) $\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 4 \ 0 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 1\end{array}ight]$
(b) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 4 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & -2\end{array}ight]$
(c) $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 0 \ 0 & 1 & -7 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}ight]$

Accepted Answer

∻Answer∻ ⚹ 对于每个矩阵，解方程 $ \mathbf{A} \overrightarrow{\mathbf{x}} = \overrightarrow{\mathbf{0}} $ 的所有解如下： ⚹ ∻Solution∻ ‖ a ⋮ 对于矩阵 (a) $ \left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 4 \ 0 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 1\end{array} ight] $，我们可以通过行简化得到其 RREF。该矩阵的 RREF 为 $ \left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 4 \ 0 & 1 & \frac{1}{2} \ 0 & 0 & 1\end{array} ight] $。因此，解为 $ x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 0 $，$ x_2 + \frac{1}{2}x_3 = 0 $，$ x_3 = t $，其中 $ t $ 为任意常数。最终解为 $ \overrightarrow{x} = \begin{bmatrix} -3t \ -\frac{1}{2}t \ t \end{bmatrix} $。 ‖ ‖ b ⋮ 对于矩阵 (b) $ \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 4 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & -2\end{array} ight] $，其 RREF 为 $ \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 4 \ 0 & 1 & -2 \ 0 & 0 & 0\end{array} ight] $。因此，解为 $ x_1 + 4x_3 = 0 $，$ x_2 - 2x_3 = 0 $，$ x_3 = t $，其中 $ t $ 为任意常数。最终解为 $ \overrightarrow{x} = \begin{bmatrix} -4t \ 2t \ t \end{bmatrix} $。 ‖ ‖ c ⋮ 对于矩阵 (c) $ \left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 0 \ 0 & 1 & -7 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0\end{array} ight] $，其 RREF 已经是最简形式。解为 $ x_1 + 2x_3 = 0 $，$ x_2 - 7x_3 = 0 $，$ x_4 = 0 $，$ x_3 = t $，其中 $ t $ 为任意常数。最终解为 $ \overrightarrow{x} = \begin{bmatrix} -2t \ 7t \ t \ 0 \end{bmatrix} $。 ‖ ∻Key Concept∻ ⚹ 解线性方程组的过程涉及将矩阵化为行简化形式，以便找出自由变量和特解。 ⚹ ∻Explanation∻ ⚹ 通过将矩阵化为 RREF，我们可以清晰地识别出每个变量的关系，从而找到所有解。 ⚹◊在分析矩阵方程 $\mathbf{A} \overrightarrow{\mathbf{x}} = \overrightarrow{\mathbf{0}}$ 的解时，如何确定矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩对解的个数和性质的影响？⍭ Generate me a similar question◊

Sia