4. (Probability Theory) An integrated circuit manufacturer tests the propagation delays of all chips of one particular batch. He discovers that the pdf of the delays is well approximated by a triangular distribution with mean value 8 ns , maximum value 12 ns and minimum value 4 ns . Find: (a) the variance of this distribution; (b) the standard deviation of the distribution; and (c) the percentage of chips which will be rejected if the specification for the device is 10 ns. $[2.66,1.63,12.5 \%]$

Q: 4. (Probability Theory) An integrated circuit manufacturer tests the propagation delays of all chips of one particular batch. He discovers that the pdf of the delays is well approximated by a triangular distribution with mean value 8 ns , maximum value 12 ns and minimum value 4 ns . Find: (a) the variance of this distribution; (b) the standard deviation of the distribution; and (c) the percentage of chips which will be rejected if the specification for the device is 10 ns. $[2.66,1.63,12.5 \%]$

你好，璐！我们来解决这个关于三角分布的问题。 给定的三角分布的参数是： - 最小值 $ a = 4 \, \text{ns} $ - 最大值 $ b = 12 \, \text{ns} $ - 平均值 $ c = 8 \, \text{ns} $ (a) 三角分布的方差公式为： \[ \text{Var}(X) = \frac{(b - a)^2}{24} \] 代入数值： \[ \text{Var}(X) = \frac{(12 - 4)^2}{24} = \frac{64}{24} \approx 2.67 \, \text{ns}^2 \] (b) 标准差是方差的平方根： \[ \sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} \approx \sqrt{2.67} \approx 1.63 \, \text{ns} \] (c) 要计算被拒绝的芯片百分比，我们需要找出延迟大于 10 ns 的概率。对于三角分布，超过最大值的概率为 0，因此我们只需计算在 10 ns 处的累积分布函数值。 累积分布函数在 $ x = 10 \, \text{ns} $ 的值为： \[ P(X \leq 10) = \frac{(10 - 4)^2}{(12 - 4)(12 - 4)} = \frac{36}{64} = 0.5625 \] 因此，超过 10 ns 的概率为： \[ P(X > 10) = 1 - P(X \leq 10) = 1 - 0.5625 = 0.4375 \] 这意味着被拒绝的芯片百分比为： \[ 0.4375 \times 100\% = 43.75\% \] 所以，答案是： (a) 2.67, (b) 1.63, (c) 43.75\%。 如果你还有其他问题，随时问我！

Question

Accepted Answer

你好，璐！我们来解决这个关于三角分布的问题。给定的三角分布的参数是： - 最小值 $ a = 4 \, \text{ns} $ - 最大值 $ b = 12 \, \text{ns} $ - 平均值 $ c = 8 \, \text{ns} $ (a) 三角分布的方差公式为： $$ \text{Var}(X) = \frac{(b - a)^2}{24} $$ 代入数值： $$ \text{Var}(X) = \frac{(12 - 4)^2}{24} = \frac{64}{24} \approx 2.67 \, \text{ns}^2 $$ (b) 标准差是方差的平方根： $$ \sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} \approx \sqrt{2.67} \approx 1.63 \, \text{ns} $$ (c) 要计算被拒绝的芯片百分比，我们需要找出延迟大于 10 ns 的概率。对于三角分布，超过最大值的概率为 0，因此我们只需计算在 10 ns 处的累积分布函数值。累积分布函数在 $ x = 10 \, \text{ns} $ 的值为： $$ P(X \leq 10) = \frac{(10 - 4)^2}{(12 - 4)(12 - 4)} = \frac{36}{64} = 0.5625 $$ 因此，超过 10 ns 的概率为： $$ P(X > 10) = 1 - P(X \leq 10) = 1 - 0.5625 = 0.4375 $$ 这意味着被拒绝的芯片百分比为： $$ 0.4375 \times 100\% = 43.75\% $$ 所以，答案是： (a) 2.67, (b) 1.63, (c) 43.75\%。如果你还有其他问题，随时问我！

Sia