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一、单项选择题（共 6 题，18.0 分)
1. 设函数 $\mathrm{z}=\mathrm{z}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ 由方程 $\mathrm{z}^{3}-3 x y z=8$ 硝定, 则 $\left.\mathrm{dz} ight|_{(0,1)}=(\quad)$.
(A) $-2 d x$
(B) $2 \mathrm{dx}$
(C) $-\frac{1}{2} \mathrm{dx}$
(D) $\frac{1}{2} \mathrm{dx}$
2. 函数 $u(x, y, z)=x y^{2}$ 在点 $(1,1,1)$ 处的方向导数的最小值为( ).
(A) $-\sqrt{3}$
(B) -3
(C) $-\sqrt{3}$
(D) -2
(A) $-\frac{x y f_{12}+\mathrm{xf}_{22}}{y^{3}}$
(B) $f_{22}$
(C) $-\frac{1}{y^{2}} f_{2}$
4. 已矢曲面 $z=4-x^{2}-y^{2}$ 在点 $P$ 处的切平面平行于 $2 x+2 y+z=1$, 则点 $P$ 的坐标为 $($ ).
(A) $(1,1,2)$
(B) $(-1,-1,2)$
(C) $(-1,1,2)$
(D) $(1,-1,1)$
5. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln ^{1} n}{n^{2-2}}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(n \pi+\frac{1}{n^{2-1}} ight)$ 都条件收敛, 则常数 $\lambda$ 的取值范目为( ).
(A) $1

Question

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一、单项选择题（共 6 题，18.0 分)
1. 设函数 $\mathrm{z}=\mathrm{z}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ 由方程 $\mathrm{z}^{3}-3 x y z=8$ 硝定, 则 $\left.\mathrm{dz}ight|_{(0,1)}=(\quad)$.
(A) $-2 d x$
(B) $2 \mathrm{dx}$
(C) $-\frac{1}{2} \mathrm{dx}$
(D) $\frac{1}{2} \mathrm{dx}$
2. 函数 $u(x, y, z)=x y^{2}$ 在点 $(1,1,1)$ 处的方向导数的最小值为( ).
(A) $-\sqrt{3}$
(B) -3
(C) $-\sqrt{3}$
(D) -2
(A) $-\frac{x y f_{12}+\mathrm{xf}_{22}}{y^{3}}$
(B) $f_{22}$
(C) $-\frac{1}{y^{2}} f_{2}$
4. 已矢曲面 $z=4-x^{2}-y^{2}$ 在点 $P$ 处的切平面平行于 $2 x+2 y+z=1$, 则点 $P$ 的坐标为 $($ ).
(A) $(1,1,2)$
(B) $(-1,-1,2)$
(C) $(-1,1,2)$
(D) $(1,-1,1)$
5. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln ^{1} n}{n^{2-2}}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(n \pi+\frac{1}{n^{2-1}}ight)$ 都条件收敛, 则常数 $\lambda$ 的取值范目为( ).
(A) $1<\lambda<2$
(B) $1<\lambda<\frac{3}{2}$
(C) $1 \leq \lambda<2$
(D) $1<\lambda \leq \frac{3}{2}$
6.函数 $f(x, y)=x^{4}+y^{4}-x^{2}-2 x y-y^{2}$ 在点 $(1,1)$ 处 ( ).
(A)无法判断是否取极值
(B)不取极值
(C)取极大值
(D)取极小值

二、填空题（共 6 题, 18.0 分)
7. 将函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{4-\mathrm{x}}$ 在点 $x_{0}=1$ 处展开成儒级数（指明收敛域） $\qquad$ .
8. 设罙级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 在 $\mathrm{x}=-3$ 处条件收敛, 在 $\mathrm{x}=5$ 处发散, 则萤级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(2 \mathrm{x}+$ 1) ${ }^{n}$ 的收敛域为 $\qquad$ -
9. 设 $\mathrm{y}$ 为曲线: $\mathrm{x}=\operatorname{cost} \mathrm{y}=\operatorname{sint}, \mathrm{z}=\ln \cos \mathrm{t},\left(0 \leq \mathrm{t} \leq \frac{\pi}{6}ight)$, 则 $\int_{\Gamma} x^{2} d s=$ $\qquad$ -.
10. 曲线 $\left\{\begin{array}{c}x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \ x^{2}+y^{2}=2 x\end{array}ight.$ 在点 $(1,1, \sqrt{2})$ 处的法平面方桯为 $\qquad$ -.
11. 敞分方程 $x^{\prime}-3 y=-3$ 洞足 $y(1)=2$ 的特解是 $y(x)=$ $\qquad$ -
12. 设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数, 其中当 $\mathrm{x} \in[-\pi, \pi)$ 时, $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{c}-2,-\pi \leq x<0 \ 1,0 \leq x<\pi\end{array}ight.$ 记 $S(x)$为 $f(x)$ 的傅里叶级数的和函数, 则 $S(7 \pi)=$ - $\qquad$

Accepted Answer

∻Solution by Steps∻ ‖ step 1 ⋮ Given the equation $z^3 - 3xy z = 8$, we need to find $\left.\frac{dz}{dx}\right|_{(0,1)}$. ‖ ‖ step 2 ⋮ To find $\frac{dz}{dx}$, we implicitly differentiate both sides of the equation with respect to $x$: $$ 3z^2 \frac{dz}{dx} - 3y z - 3xy \frac{dz}{dx} = 0 $$ ‖ ‖ step 3 ⋮ Simplify and solve for $\frac{dz}{dx}$: $$ \frac{dz}{dx} (3z^2 - 3xy) = 3yz $$ $$ \frac{dz}{dx} = \frac{3yz}{3z^2 - 3xy} $$ ‖ ‖ step 4 ⋮ Substitute $x = 0$ and $y = 1$ into the equation: $$ z^3 - 3 \cdot 0 \cdot 1 \cdot z = 8 $$ $$ z^3 = 8 $$ $$ z = 2 $$ $$ \frac{dz}{dx} = \frac{3 \cdot 1 \cdot 2}{3 \cdot 2^2 - 3 \cdot 0 \cdot 1} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$ ‖ ∻[1] Answer∻ ***D*** ∻Key Concept∻ ⚹Implicit Differentiation⚹ ∻Explanation∻ ⚹Implicit differentiation is used to find the derivative of a function defined by an equation involving multiple variables.⚹ ∻Solution by Steps∻ ‖ step 1 ⋮ Given the function $u(x, y, z) = xy^2$, we need to find the minimum value of the directional derivative at the point $(1,1,1)$. ‖ ‖ step 2 ⋮ The gradient of $u$ is: $$ \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = \left( y^2, 2xy, 0 \right) $$ At $(1,1,1)$, the gradient is: $$ \nabla u = (1^2, 2 \cdot 1 \cdot 1, 0) = (1, 2, 0) $$ ‖ ‖ step 3 ⋮ The minimum value of the directional derivative is given by the negative of the magnitude of the gradient: $$ \text{Minimum value} = -\|\nabla u\| = -\sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = -\sqrt{5} $$ ‖ ∻[2] Answer∻ ***B*** ∻Key Concept∻ ⚹Directional Derivative⚹ ∻Explanation∻ ⚹The minimum value of the directional derivative is the negative of the magnitude of the gradient vector.⚹◊What is the formula for computing directional derivatives in multivariable calculus?⍭ Generate me a similar question◊

Sia