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Sia

yushiuan's Question
Math
Posted about 2 months ago
(b)有沒有更簡單的方法
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Answer from Sia
Posted about 2 months ago
當然可以!我們可以用更簡單的方式來證明如果 f f  在某個區間上是連續的,則 f |f|  也是連續的。

 (b) 證明如果 f f  在某個區間上是連續的,則 f |f|  也是連續的。

根據連續性的定義,函數 f f  在點 c c  連續,當且僅當:

limxcf(x)=f(c)
\lim_{x \to c} f(x) = f(c)


現在考慮 f |f|  的連續性。我們需要證明:

limxcf(x)=f(c)
\lim_{x \to c} |f(x)| = |f(c)|


1. 
情況 1:當 \( f(c) \geq 0 \)


在這種情況下,f(c)=f(c) |f(c)| = f(c) 。因此:

limxcf(x)=limxcf(x)=f(c)=f(c)
\lim_{x \to c} |f(x)| = \lim_{x \to c} f(x) = f(c) = |f(c)|


2. 
情況 2:當 \( f(c) < 0 \)


在這種情況下,f(c)=f(c) |f(c)| = -f(c) 。因此:

limxcf(x)=limxcf(x)=f(c)=f(c)
\lim_{x \to c} |f(x)| = \lim_{x \to c} -f(x) = -f(c) = |f(c)|


在這兩種情況下,我們都證明了 f |f|  在點 c c  連續。因此,若 f f  在某個區間上是連續的,則 f |f|  也是連續的。

如果你對這個證明還有疑問,或者想進一步探討其他問題,隨時告訴我!

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