MAST10006

Jun 1, 2026

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我拿到了一份我在上的课的考前宝典！你帮我拆解一下这节课，告诉我复习重点，我快final了越详细越好，公式，定义，核心考点我都需要，救救孩子

当然可以。我先按你这两份资料的“考试蓝图 + 技能树”把 MAST10006 (Calculus 2) 拆成一张 期末 Final 复习地图：你照着刷，复习不会跑偏，而且能把“闭卷+无计算器+要写论证”的得分点抓牢。
- 另外（可选）：如果你愿意，我也可以把你“最弱的 3 块 + 最常踩的坑”记住，之后你每次来我就优先带你复习这些。

0）先把考试规则吃透（这决定你怎么复习、A4 写什么）
期末考试权重与形式
- Final：60%，3 小时写题 + 15 分钟读题，闭卷、线下监考、不许用计算器，题型含短答 + 长答，覆盖全课程内容。[@ref_1][@ref_4]
- 你可以带：自己做的一张双面 A4 笔记 + 官方 Calculus 2 公式表。[@ref_1][@ref_4]
阅卷真正给分的点（非常关键）
- 分数不只看答案，还看：选对方法、代数准确、写出论证（点名定理/规则 + 检查条件）、图要清晰且标注、符号正确。[@ref_1][@ref_4][@ref_5]
- 若题目指定方法（比如“用复指数”），你必须用，否则会丢方法分。[@ref_1][@ref_4]
A4 应该写什么（最省命策略）
- 既然官方公式表会给“标准导数/积分表”等内容，你的 A4 应该写：
  - 判敛法/积分法/ODE 方法的“决策树（选法规则）”
  - 每种方法的“适用条件 + 常见陷阱提醒”
  - 你自己最容易忘的模板/套路（比如“积分回归”“L’Hôpital 的先验检查”等）。[@ref_1][@ref_2]

1）整门课的“技能树”（你复习就按这 10 块排）
这门课覆盖面很大而且“程序化重”，核心模块包括：
- 极限、数列/级数与收敛、Taylor/Maclaurin、双曲函数及反函数、复指数、六大积分技巧、一阶/二阶常微分方程 ODE、二元微积分（偏导/梯度/Hessian 等）。[@ref_2][@ref_6][@ref_7][@ref_17]

2）你要怎么复习（最符合这门课闭卷无计算器的打法）
A. 学（LEARN）：先把“定义→图→公式→例题→陷阱”吃透
- 先读懂“思路”，再做数字；图是理解标准数学结构的关键。[@ref_2]
B. 刷（DRILL）：按考试标准刷题
- 遮住答案，全程手算、精确值、每步写理由；练到“自动化”。[@ref_2][@ref_4]
C. 做 A4（BUILD A4）：边复习边收割“决策规则 + 陷阱”
- 你的 A4 本质是：方法选择器 + 低级错误防呆清单。[@ref_2]

3）最高频“得分链条”（你要练到闭眼能写）
下面这些是你在考场最常遇到的“识别→选择→执行”套路；每条我都给你：核心定义/公式 + 操作步骤 + 常见坑。

3.1 极限（Limits）+ 连续（Continuity）+ 夹逼（Squeeze）
极限运算法则（Limit laws）：若 $\lim f=L,\ \lim g=M$，则
- $\lim(f\pm g)=L\pm M$
- $\lim(fg)=LM$
- $\lim\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{L}{M}\ (M\neq 0)$
- $\lim (f^n)=L^n$（按材料写法）。[@ref_16]
必须背的标准极限（STANDARD LIMITS）
- $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
- $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$
- $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$（资料如是给出）。[@ref_16]
夹逼定理（Squeeze theorem）
- 若在 $a$ 附近 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，且 $\lim g=\lim h=L$，则 $\lim f=L$。
- 关键条件：上下界两个极限必须都“已知且相等”。[@ref_16]
- 典型题：$-x^2\le x^2\sin(1/x)\le x^2 \Rightarrow \lim_{x\to 0}x^2\sin(1/x)=0$。[@ref_18]
连续定义（Continuity at $a$）：
- (i) $f(a)$ 存在；(ii) $\lim_{x\to a}f(x)$ 存在；(iii) 两者相等。[@ref_16]
分段函数拼接（piecewise join）必考模板
- 连续：左右极限相等且等于 $f(a)$
- 可导：还要左右导数相等（多一个方程）。[@ref_16]
- 例题模板：$f(x)=x^2(x\le 1)$，$ax+b(x>1)$，要求在 1 处连续且可导：
  - 连续：$1=a+b$
  - 可导：$2=a$
  - 得 $a=2,\ b=-1$。[@ref_16]

3.2 L’Hôpital（洛必达）——“先验检查”是送分点
规则（你得写出来你检查过条件）
- 只对 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 形式可用；先代入判断形式，再求导。
- 使用时要说明：$\displaystyle \lim \frac{f}{g}=\lim \frac{f'}{g'}$（若右边极限存在），且要注意 $g'\neq 0$ 等条件提示（材料强调“先确认不定型”）。[@ref_23]
最常见丢分方式
- **跳过“先代入、给形式命名”**直接求导。[@ref_14]
- 用一次后不重新检查形式（材料强调“每次都要复核形式”）。[@ref_23]
典型题型 1：需要用两次
- 例：$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1-2x}{2x^2}=2$（材料给了“两次洛必达”或用级数读出）。[@ref_8]
典型题型 2：$1^\infty/0^0/\infty^0$
- 做法：设 $y=f(x)^{g(x)}$，取对数 $\ln y=g(x)\ln f(x)$，把它改成分式再用洛必达，最后指数化回去。[@ref_14][@ref_23]
- 例：$\displaystyle \lim_{x\to 0^+} x^{2x}=1$（材料演示：$\ln y=2x\ln x$，化为商再洛必达，$\ln y\to 0\Rightarrow y\to 1$）。[@ref_14]

3.3 数列与级数（Sequences & Series）：考官要你“点名判敛法 + 检查条件”
基本定义（你要会一句话写清）
- 数列 $(a_n)$ 收敛到 $L$：$a_n\to L$（$n\to\infty$）。[@ref_27]
- 级数 $\sum a_n$ 收敛到 $S$：部分和 $S_N=\sum_{n=1}^N a_n \to S$。[@ref_27]
先做的第一步（必做）
- n-th term test（发散判别）：先看 $a_n\to 0$ 吗；不趋于 0 则必发散（材料强调“always check first”）。[@ref_5]
你要背熟的“判敛法决策树”（选法是核心能力）
- 形状像几何级数 $ar^n$ 或 $1/n^p$：用几何 / p-级数。[@ref_5][@ref_27]
- 有阶乘/指数：通常 比值判敛（ratio） 很强。[@ref_5][@ref_26]
- 能与已知级数做大小比较：比较判敛 / 极限比较判敛。[@ref_5][@ref_26]
- 正项、单调递减、且可积：积分判敛（要写条件检查）。[@ref_9][@ref_26]
- 有 $(-1)^n$：交错级数（Leibniz）要检查 $b_n\downarrow 0$。[@ref_9][@ref_19]
重点结论（必须会用）
- 几何级数：$\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}$ 当且仅当 $|r|<1$。[@ref_27]
- $p$-级数：$\sum \frac{1}{n^p}$ 收敛当且仅当 $p>1$；调和级数 $p=1$ 发散。[@ref_27]
- 绝对/条件收敛：$\sum |a_n|$ 收敛 $\Rightarrow$ 绝对收敛；若 $\sum a_n$ 收敛但 $\sum |a_n|$ 发散则条件收敛（材料给了交错调和作例）。[@ref_27]
比值判敛（Ratio test）三句式（考试写法）
- 计算 $L=\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
- 若 $L<1$ 收敛；$L>1$ 发散；$L=1$ 不定（要换法）。[@ref_19][@ref_23]
- 例：$\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!}$，比值法给 $L=3(n+1)>1$ 所以发散（材料的 worked solution）。[@ref_8]
积分判敛（Integral test）写作要点
- 你必须写：$f(x)$ 在区间上 正、连续、递减，然后才可用积分判敛。[@ref_9][@ref_26]
- 典型例：$\sum \frac{1}{n\log n}$ 用积分判敛，$\int \frac{dx}{x\log x}$ 发散，所以级数发散。[@ref_26]
比较判敛（Comparison）常用技巧
- “丢低阶项猜 benchmark，再把不等式写严谨”：比如 $\frac{n}{n^3+1}\le \frac{n}{n^3}=\frac{1}{n^2}$，因此收敛。[@ref_26]

3.4 Taylor / Maclaurin：多考“写出多项式 + 用余项界误差”
Taylor 多项式（about $a$）
- $$P_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k,\quad \text{Maclaurin 是 }a=0.$$
- Taylor 级数是 $n\to\infty$ 的极限形式；但“等于函数”要看余项是否趋于 0。[@ref_26][@ref_30]
Lagrange 余项（必须会写 + 会用界）
- $$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},\ c\text{ 在 }a\text{ 与 }x\text{ 之间}.$$
- 误差界：
  $$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1},\quad M=\max |f^{(n+1)}|\ \text{（在整个区间上取最大）}$$
- 常见坑：$(n+1)$ 写错（off-by-one）；$M$ 没有在“整个区间”取最大。[@ref_30][@ref_25]
常用 Maclaurin 模板（用来替换/代入/相乘构造新级数）
- $e^x=\sum \frac{x^n}{n!}$（全 $x$）
- $\sin x=\sum (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$（全 $x$）
- $\cos x=\sum (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$（全 $x$）
- $\frac{1}{1-x}=\sum x^n\ (|x|<1)$
- $\log(1+x)=\sum (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}\ (-1<x\le 1)$
- $(1+x)^a=\sum \binom{a}{n}x^n\ (|x|<1)$。[@ref_26][@ref_30]
典型题：Maclaurin + 误差界
- 例：$\cos x$ 的二阶 Maclaurin：$P_2(x)=1-\frac{x^2}{2}$；并在 $|x|\le 0.5$ 用余项界估误差（材料题库 Q3）。[@ref_3][@ref_8]
半径/区间收敛（power series）
- 对 $\sum C_n(x-a)^n$，用比值法：
  $$\frac{1}{R}=\lim\left|\frac{C_{n+1}}{C_n}\right|,$$
  在 $|x-a|<R$ 收敛，$|x-a|=R$ 要单独测端点（比值法沉默）。[@ref_26]

3.5 双曲函数（Hyperbolics）+ 反双曲（Inverse hyperbolic）
核心恒等式（你要能随手用）
- $\cosh^2 x-\sinh^2 x=1$。[@ref_19]
图像/形状（考“识别 + 直觉”也很常见）
- $\sinh$：奇函数，过 0，增长快
- $\cosh$：偶函数，$x=0$ 处最小值 1，U 形（悬链线）
- $\tanh$：S 形，渐近线 $\pm 1$
- $\sech$：钟形，峰值 1。[@ref_25]
反双曲常考点
- 例题：证明 $\operatorname{arctanh}x=\frac12\log\frac{1+x}{1-x}$，并算 $\operatorname{arctanh}(1/2)$（题库 Q5）。[@ref_8][@ref_12]
常见代换（尤其积分）
- $\sqrt{x^2+a^2}$ 或 $\sqrt{x^2-a^2}$ 常用双曲换元：
  - $x=a\sinh u$（用 $1+\sinh^2=\cosh^2$）
  - $x=a\cosh u$（用 $\cosh^2-1=\sinh^2$）。[@ref_22][@ref_29]

3.6 复指数法（Complex exponential）：专治 $\int e^{ax}\cos(bx)$ / $\int e^{ax}\sin(bx)$
核心思路
- $\cos(bx)=\Re(e^{ibx})$，$\sin(bx)=\Im(e^{ibx})$，把三角积分变成一个复指数积分。[@ref_12][@ref_15]
标准套路（五步）
- 写成实部/虚部 $\Re\int e^{(a+ib)x}dx$
- 积分：$\int e^{(a+ib)x}dx=\frac{e^{(a+ib)x}}{a+ib}+C$
- 乘共轭有理化
- 展开 $e^{(a+ib)x}=e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)$
- 取实部/虚部。[@ref_15][@ref_12]
例题模板
- “用复指数算 $\int e^x\cos 2x,dx$”是题库 Q6（材料给了完整答案结构）。[@ref_12]

3.7 积分六大技巧（Integration techniques）：靠“识别形状 → 选工具”
总原则：积分不是算法，是模式识别；多数题“一两行就能落地”，前提是你选对工具。[@ref_15]
3.7.1 换元（Substitution）
- 识别 $f(g(x))g'(x)$：令 $u=g(x)$，$\int f(g(x))g'(x),dx=\int f(u),du$。
- 定积分要改上下限或再换回 $x$。[@ref_21]
3.7.2 分部积分（By parts）
- 公式：$$\int u,dv=uv-\int v,du.$$
- 选 $u$：用 LIATE（Log > Inverse-trig > Algebraic > Trig > Exp）。[@ref_21][@ref_13]
- **积分回归（return-of-integral）**必考：比如 $\int e^x\sin x,dx$ 要分部两次，原积分重现，最后代数解 $I$。[@ref_4][@ref_21][@ref_22]
- 典型坑：两次分部要保持同类型选择，否则会出现“$0=0$”的无效抵消（材料专门标注）。[@ref_4]
3.7.3 部分分式（Partial fractions）
- 有理函数 $\frac{P(x)}{Q(x)}$：先看是否“头重脚轻”
  - 若 $\deg P\ge \deg Q$：先长除法。[@ref_11][@ref_22]
- 分解 $Q(x)$：线性因子与不可约二次因子；写模板并求常数；逐项积分成 $\log$ 与 $\arctan$。[@ref_11][@ref_22]
- 例题：$\displaystyle \int \frac{3x+1}{(x-2)(x+1)}dx$ 的遮盖法求 $A,B$ 并积分（材料给了完整过程）。[@ref_11]
3.7.4 三角换元（Trig substitution）
- 三大根式模板（一定要背“形状→代换→恒等式”）
  - $\sqrt{a^2-x^2}$：$x=a\sin\theta$，$1-\sin^2=\cos^2$
  - $\sqrt{a^2+x^2}$：$x=a\tan\theta$，$1+\tan^2=\sec^2$
  - $\sqrt{x^2-a^2}$：$x=a\sec\theta$，$\sec^2-1=\tan^2$。[@ref_21]
- 坑：最后要画三角形换回 $x$；定积分要改上下限。[@ref_21]
3.7.5 双曲换元（Hyperbolic substitution）
- 同上：$\sqrt{x^2\pm a^2}$ 往往更干净，答案可写 $\operatorname{arcsinh},\operatorname{arccosh}$ 或 $\log$ 形式。[@ref_22]
3.7.6 反常积分（Improper integral）
- 规则：把坏点/无穷上限改成极限来算（材料以“replace bad point by a limit”描述）。[@ref_13]

3.8 ODE（微分方程）：一阶三件套 + 二阶特征方程（材料里明确是主块）
你这份摘录里出现的可考类型包括：
- 一阶 ODE：可分离（separable）、积分因子（integrating factor）、相位线/定性分析、logistic 等。[@ref_6][@ref_12][@ref_24]
- 二阶线性 ODE：特征方程、待定系数、弹簧阻尼（springs & damping）。[@ref_6][@ref_17][@ref_24]
二阶常系数齐次：重复根坑（必背）
- 若特征方程有重复根 $\lambda$：解形是
  $$y=(A+Bx)e^{\lambda x}$$
  其中 $Bx$ 这项是必须的（材料明确标“mandatory”）。[@ref_24]
相位线/稳定性（Qualitative / phase line）
- 找平衡点（equilibria）：令 $f(y)=0$；
- $f>0$ 箭头向上，$f<0$ 向下；稳定是箭头“汇聚”，不稳定是“发散”；通常不需要真的解出 $y(t)$。[@ref_24]

3.9 二元微积分（Functions of two variables）：梯度/方向导数/切平面/Hessian
路径法判极限不存在（Path test）
- 若沿两条路径极限不同，则二维极限不存在（材料示例：沿 $y=0$ 得 0，沿 $y=x$ 得 $1/2$，所以 DNE）。[@ref_28]
梯度与方向导数（Gradient & directional derivative）
- $\nabla f=(f_x,f_y)$
- 方向导数：$D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot \mathbf u$，其中 $\mathbf u$ 必须是单位向量（材料强调不单位化会错）。[@ref_24][@ref_28]
- 最陡上升方向：$\nabla f$；最大变化率：$|\nabla f|$。[@ref_24]
切平面（Tangent plane）
- 在 $(a,b)$ 处：
  $$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).$$ [@ref_24]
链式法则（多元随时间）
- 若 $x=x(t),y=y(t)$：
  $$\frac{dz}{dt}=f_x\frac{dx}{dt}+f_y\frac{dy}{dt}.$$ [@ref_24]
Hessian 判别（材料点名是高价值术语）
- 材料给出判别量：$D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$，用于分类驻点（你考试里要会写并会用）。[@ref_10]

4）你考前 48 小时最该做的 3 件事（按材料“作战计划”改成可执行版）
（1）读题 15 分钟“先分诊”
- 把每题标注成：哪个判敛法/哪个积分法/哪类 ODE/哪个多元工具，然后按“自己最稳→最不稳”顺序做，而不是按题号顺序。[@ref_5]
（2）每题都写“方法名 + 条件检查”
- 例如：
  - “By ratio test, compute $L=\cdots$”
  - “Integral test is valid because $f$ positive/continuous/decreasing …”
- 材料明确说：只写“by ratio test, $L<1$”但没算 $L$、没查条件，是拿不到分的。[@ref_16][@ref_9]
（3）全部答案尽量保持精确值
- 因为无计算器，考试期待你用精确表达（材料明确提醒）。[@ref_5]

5）你下一步给我 2 个信息，我就能把复习“排成日程表 + 题型清单”
你回我两件事就行（用选项字母也行）：
- A）你的 Final 在哪一天（具体日期）？（我好按“还剩几天”拆每天复习块。）
- B）你最怕哪 3 块？
  - 1 极限/连续/夹逼/L’Hôpital
  - 2 数列级数 + 判敛法选择（ratio / comparison / integral / alternating）
  - 3 Taylor/Maclaurin + 余项误差界 + 幂级数收敛半径
  - 4 积分六招（换元/分部/回归/部分分式/三角/双曲/反常）
  - 5 复指数法（$e^{ax}\cos bx$, $e^{ax}\sin bx$）
  - 6 ODE（一阶：可分离/积分因子/相位线；二阶：特征方程/重复根）
  - 7 二元（路径检验、梯度/方向导数、切平面、Hessian）