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삼중 적분 계산기

삼중 적분. 직교, 원통, 구면 좌표계.

Name: AskSia 삼중 적분 계산기
Author: AskSia

삼중 적분을 입력하거나 사진으로 찍으세요. AskSia는 3D 영역을 식별하고, 가장 깔끔한 좌표계(직교, 원통, 구면)를 선택하며, 올바른 야코비안을 삽입하고, 반복 적분을 변수별로 평가합니다.

Works with word problems, equations, code, and science prompts.

∫ 3x² · sin(x) dx

SubjectsCalculusAlgebraPhysicsChemistryBiologyCSStatisticsEcon

4.9 / 5 · trusted by 2M+ students · 50M+ problems solved

asksia.ai/solver

98% · Verified

Problem

Find the area enclosed between y = x² and y = 2x in the first quadrant.

Find the points of intersection

Set the curves equal: x² = 2x → x(x - 2) = 0, so x = 0 and x = 2.

Identify which curve is on top

On (0, 2), 2x > x², so y = 2x is the upper curve.

Set up the area integral

A = ∫₀² (2x - x²) dx

Integrate term-by-term

A = [ x² - x³/3 ]₀²

Final Answer

A = 4/3 sq. units

빠른 답변

삼중 적분은 어떻게 계산하나요?

삼중 적분은 세 변수의 함수를 3D 영역에 대해 적분하는 것입니다. 세 개의 중첩된 적분으로 반복 적분을 작성합니다. 순서가 중요합니다: 각 변수의 경계가 외부 변수에만 의존하도록 변수와 경계를 선택합니다. 원통형 영역의 경우 원통 좌표계로 변경합니다(dV는 r dr d-theta dz가 됨). 구형 영역의 경우 구면 좌표계로 변경합니다(dV는 rho^2 sin(phi) d-rho d-phi d-theta가 됨). 모든 좌표 변경에는 야코비안이 포함되어야 합니다.

98%

solution accuracy

50M+

problems solved

~1.5s

avg solve time

A+

study-ready explanations

CalculusAlgebraLinear AlgebraDiffEqStatisticsProbabilityGeometryTrigonometryDiscrete MathMechanicsE&MThermodynamicsQuantumOpticsGen ChemOrganicBiochemAnalyticalCell BioGeneticsAnatomyMicrobioPythonJavaC++SQLAlgorithmsData StructuresMicroeconomicsMacroeconomicsEconometricsSATACTAP CalcAP PhysicsAP ChemAP BioIB HLA-LevelCalculusAlgebraLinear AlgebraDiffEqStatisticsProbabilityGeometryTrigonometryDiscrete MathMechanicsE&MThermodynamicsQuantumOpticsGen ChemOrganicBiochemAnalyticalCell BioGeneticsAnatomyMicrobioPythonJavaC++SQLAlgorithmsData StructuresMicroeconomicsMacroeconomicsEconometricsSATACTAP CalcAP PhysicsAP ChemAP BioIB HLA-Level

AskSia 계산기 사용 이유

학생들이 삼중 적분을 위해 AskSia를 사용하는 이유.

모든 단계는 투명하게, 모든 답은 자체 검증됩니다.

영역 식별.

AskSia는 3D 영역(상자, 원기둥, 구, 사면체)을 분석하고 경계를 설정합니다.

영역 인식

좌표 변경.

원형 대칭의 경우 원통 좌표, 구형과 유사한 영역의 경우 구면 좌표. 야코비안이 자동으로 나타납니다.

좌표계

적분 순서.

AskSia는 각 변수의 경계가 외부 변수에만 의존하도록 순서를 선택하고 그 이유를 설명합니다.

순서

세 번의 적분.

가장 안쪽부터 시작하여, 원시 함수와 경계를 대입합니다. 그런 다음 중간, 마지막으로 바깥쪽을 계산합니다.

단계별

사진, 복사 또는 입력.

휴대폰으로 필기 또는 인쇄된 문제를 촬영하거나, 모든 온라인 숙제 포털에서 복사하여 붙여넣거나, 전체 LaTeX 지원으로 입력하세요.

다중 모드 입력

AskSia에 의한 검증.

모든 답은 자체 확인을 통과합니다. Sia는 숙제를 제출하기 전에 부호 오류와 대수 실수를 잡아냅니다.

자체 검증

작동 방식

세 단계로 삼중 적분 문제를 해결하세요.

1단계

문제 입력.

수식을 입력하거나, 숙제에서 복사하여 붙여넣거나, 사진을 찍거나, 말로 하세요. AskSia가 입력을 분석하고 구조를 식별합니다.

Input mode

Snap a Photo

Textbook, handwriting, screenshot

Paste Text

Word problem or equation

Calculator

LaTeX-ready equation editor

2단계

AskSia가 방법을 선택합니다.

문제 구조에 따라 AskSia는 가장 깔끔한 해결 경로를 선택하고 수행된 연산을 각 단계에 레이블링합니다.

Calculus · Step 4 of 4

1.4s

Set curves equal

x² = 2x → x = 0, x = 2

Set up the integral

A = ∫₀² (2x - x²) dx

Evaluate

A = [x² - x³/3]₀² = 4/3

3단계

검증된 답을 읽으세요.

최종 결과는 치환 또는 합성 확인과 함께 나타납니다. 동일한 개념에 대한 연습 문제는 탭 한 번으로 접근 가능합니다.

Auto-generated diagram

Region between y = 2x and y = x² — area = 4/3

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Side-panel AI tutor chat for hints and alt methods

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app.asksia.ai/solver

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Calculus

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Step 4 of 4 · Evaluate

A = [x² - x³/3]₀² = 4/3

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Area between y=2x & y=x²

A = 4/3 sq. units ✓

사용 사례

삼중 적분 계산기가 다루는 내용.

📐

상자 영역.

세 변수 모두에 대한 상수 경계. 명확한 반복 적분.

상자

⚛️

원통 좌표 변환.

원형 단면 입체의 경우. 야코비안 r을 포함한 r dr d-theta dz.

원통 좌표

🧪

구면 좌표 변환.

공 모양 영역의 경우. rho^2 sin(phi) d-rho d-phi d-theta.

구면 좌표

🧬

입체의 부피.

영역에 대해 1을 적분하여 임의의 3D 입체의 부피를 구합니다.

부피

💻

질량 및 질량 중심.

총 질량에 대해 영역에 대한 밀도를 적분하고, 무게 중심에 대해 가중 적분을 수행합니다.

응용

🎯

숙제 검증.

후보 답과 원본 문제를 붙여넣으세요. AskSia가 풀이 과정을 따라가며, 다른 단계가 있으면 표시하고 올바른 최종 값을 알려줍니다.

답변 확인

Compare

AskSia vs. ChatGPT,
Photomath & Symbolab.

General chatbots hallucinate. Photo solvers stop at math. AskSia is built for actual coursework with verified accuracy, visual learning, and every subject.

Feature comparison between AskSia Solver and alternatives
Feature	AskSia Solver	ChatGPT	Photo Solvers
Solution accuracy	✓ 98%	~70-85%, hallucinations	~90%, math only
Auto-generated diagrams	✓ Every solve	Inconsistent / broken	Graphs only, math-only
Step-by-step explanations	✓ Numbered + plain English	Inconsistent depth	✓ Math steps
Subject coverage	✓ Math, Physics, Chem, Bio, CS, Econ	✓ Wide but unverified	Math only
Photo input	✓ Handwriting + diagrams + code	Photos OK, weak on handwriting	✓ Math photos only
Answer verification	✓ Self-checked before display	No verification	Math engine only
Tutor follow-ups	✓ Hints, alt methods, ELI5	✓ General chat	Not available
Practice and flashcards	✓ One-tap from any solve	Manual prompting	Not available
Code debugging	✓ Python, Java, C++, SQL...	✓ Yes	Not available
Free to start	✓ Daily solves, no card	Limited model access	Steps locked behind paywall

FAQ

자주 묻는 질문.

언제 원통 또는 구면 좌표계로 전환해야 하나요?

원통 좌표계는 축을 중심으로 회전 대칭인 영역(원기둥, 포물면, z축을 따라가는 원뿔)에 유용합니다. 구면 좌표계는 구, 원점에서의 원뿔, 그리고 3D 각도 좌표계에 자연스럽게 맞는 영역으로 둘러싸인 영역에 유용합니다.

원통 좌표계의 야코비안은 무엇인가요?

dV = r dr d-theta dz. r이라는 인수는 변환 행렬식에서 나오며, 직교 좌표계에서 원통 좌표계로 전환할 때 부피 요소가 어떻게 변하는지를 나타냅니다. AskSia는 좌표를 전환할 때 이 인수를 자동으로 삽입합니다.

구면 좌표계의 야코비안은요?

dV = rho^2 sin(phi) d-rho d-phi d-theta 입니다. 여기서 rho는 원점으로부터의 거리, phi는 양의 z축으로부터의 각도(0에서 pi), theta는 방위각(0에서 2*pi)입니다. rho^2 sin(phi) 인수는 구면 야코비안이며, AskSia는 구면 좌표계로 전환할 때마다 이를 포함합니다.

AskSia는 임의의 입체의 부피를 계산할 수 있나요?

네. 해당 영역에 대한 1의 삼중 적분(이는 부피와 같음)을 설정하면 AskSia가 경계, 필요한 경우 좌표 변환, 적분을 처리합니다. 두 표면 사이의 부피에 대해서도 AskSia가 설정을 자동화합니다.

AskSia의 정확도는 어느 정도인가요?

AskSia는 표준 고등학교 및 대학 교과 과정에서 98%의 정확도를 달성하며, 이는 동일한 문제 세트에 대한 ChatGPT, Photomath, Symbolab보다 측정 가능하게 높습니다. 정확도는 과목별 전문 모델, 산술 오류를 포착하는 기호 검증 단계, 그리고 답을 보여주기 전에 다시 유도하는 자체 확인 단계를 통해 얻어집니다.

연습 문제와 플래시 카드를 받을 수 있나요?

네. 어떤 풀이 후든 Sia에게 SAT, ACT, AP, IB 또는 대학 수준의 유사한 연습 문제를 생성하도록 요청하거나, 탭 한 번으로 기본 개념에 대한 플래시 카드 세트를 만들 수 있습니다. 퀴즈, 중간고사 또는 기말고사 전에 시험 준비 및 간격 반복 학습에 유용합니다.

AskSia의 비용은 얼마인가요?

AskSia는 모든 과목에 걸쳐 일일 풀이 횟수가 포함된 무료 플랜을 제공합니다. AskSia Pro 및 Super 플랜은 무제한 풀이 횟수, 고급 주제, 전체 AI 튜터 동반 기능, 내보내기 및 우선 응답 속도를 포함합니다. 자세한 내용은 가격 정보를 참조하세요.